Ako je površina kvadrata jednaka 225 cm^2, kolika je duljina njegove stranice?
Očito, valja potražiti pozitivan broj a za koji vrijedi a^2=225. Jednostavno je naći odgovor, a=15 cm. Rješenje: broj 15, drugi je ili kvadratni korijen broja 225. Pišemo: √225=15.
Drugi ili kvadratni korijen pozitivnog broja a je pozitivan broj √a za koji vrijedi:
Također je √0=0.
Za bilo koji realni broj a vrijedi:
Treći korijen realnog broja a je broj za koji vrijedi:
Sada pređimo na računanje s korijenima:
1.Množenje i dijeljenje drugih i trećih korijena:
2.Razlika kvadrata. Zbroj i razlika kubova:
3.Djelomično korjenovanje:
4.Racionalizacija nazivnika („uklanjanje” korijena iz nazivnika razlomka):
Iracionalne jednadžbe
Iracionalne jednadžbe su jednadžbe koje sadrže nepoznanicu x pod znakom korijena, poput jednadžbe x−1=√(x+1).
Iracionalne jednadžbe rješavamo tako da potenciranjem (kvadriranjem, kubiranjem...) uklanjamo korijen u njima. Tako ćemo kvadriranjem ove jednadžbe dobiti:
(x−1)^2=x+1
x^2−2x+1=x+1
x^2−3x=0
x(x−3)=0.
Zaključujemo da su x1=0 i x2=3 rješenja ove jednadžbe. Međutim, kada ih ubacimo natrag u početnu jednadžnu vidimo da je samo x2=3
Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika ax^2+bx+c=0. Realni brojevi a, b i c (a≠0) koeficijenti su kvadratne jednadžbe. Broj a je koeficijent kvadratnog člana ili vodeći koeficijent, broj b je koeficijent linearnog člana, a broj c je slobodni član. Svaki broj x koji zadovoljava tu jednadžbu njezino je rješenje.
Svođenje na potpuni kvadrat
Ako kvadratni trinom nije potpuni kvadrat, možemo izdvojiti jedan njegov dio koji to uvijek jest, a koji pritom sadrži članove s nepoznanicom x. Takav se postupak naziva svođenje na potpuni kvadrat i koristi u rješavanju kvadratnih jednadžbi.
Rješenja kvadratne jednadžbe
Rješenja kvadratne jednadžbe ax^2+bx+c=0 su brojevi:
Diskriminanta kvadratne jednadžbe
Diskriminanta kvadratne jednadžbe ax^2+bx+c=0 je broj D=b^2−4ac.
Predznak diskriminante utječe na prirodu ovih rješenja. Tri su mogućnosti:
D>0. Rješenja su realna i različita:
D<0. Rješenja su kompleksno konjugirani brojevi. Vrijedi D=−|D| jer je D negativan broj. Zato:
D=0. Postoji samo jedno realno rješenje, jer je po formuli:
Vièteove formule
Ako su x1 i x2 rješenja kvadratne jednadžbe ax^2+bx+c=0 tada vrijede Vièteove formule:
Izravna primjena Vièteovih formula
Ako vrijedi x1+x2=m, x1x2=n, onda su x1 i x2 rješenja kvadratne jednadžbe x2−mx+n=0.
Još spomenimo faktorizaciju kvadratnog trinoma.
Neka su x1 i x2 rješenja kvadratne jednadžbe ax^2+bx+c=0, onda se kvadratni trinom ax^2+bx+c može napisati u obliku: ax^2+bx+c=a(x−x1)(x−x2).
Dalje možemo zaključiti da kvadratna jednadžba sa zadanim rješenjima glasi a(x−x1)(x−x2)=0, gdje je a≠0 po volji odabran broj.
Bikvadratna jednadžba
Jednadžbu četvrtog stupnja koja ima oblik ax^4+bx^2+c=0 zovemo bikvadratna jednadžba. Pritom su koeficijenti a, b i c realni brojevi te a≠0.
Zamjenom x^2=t rješavanje bikvadratne jednadžbe prevodimo na rješavanje kvadratne jednadžbe at^2+bt+c=0.
Bikvadratna jednadžba ima četiri rješenja.
1.Ako je t1≥0 i t2≥0, sva su četiri rješenja realna
2.Ako je t1≥0 i t2<0, dva su rješenja jednadžbe realna, a dva su konjugirano kompleksni brojevi
3.Ako je t1<0 i t2<0, rješenja su dva para konjugirano kompleksnih brojeva.
