Prirodni brojevi su brojevi 1, 2, 3, 4, 5... Njima se služimo pri brojenju ili prebrajanju. Prirodnim brojem iskazujemo brojnost nekog skupa, odgovaramo na pitanje koliko je u skupu članova.
Postoji najmanji prirodni broj, to je broj 1. Ne postoji najveći prirodni broj. Iza ma kako velikog prirodnog broja n slijedi veći (n + 1) što znači da je skup prirodnih brojeva beskonačan.
Skup prirodnih brojeva označavamo s N.
N={1,2,3,4,5,...,n...}.
Prirodni broj koji osim samoga sebe i broja 1 nema drugih djelitelja zove se prost ili primbroj. Evo svih prostih brojeva koji su manji od 100:
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97
Prirodni brojevi zajedno s negativnim cijelim brojevima i nulom čine skup cijelih brojeva.Skup cijelih brojeva označavamo sa Z:
Z={...-3,-2,-1,0,1,2,3...}
GAUSSOVA DOSJETKA
Poznata je anegdota o matematičaru Carlu Friedrichu Gaussu kojem je učitelj zadao izračunati zbroj prvih 100 brojeva. Na učiteljevo iznenađenje, Gauss je u trenutku došao do točnog rezultata. Naime, on je združio prvi i posljednji broj, drugi i pretposljednji itd. Uočio je da takvih parova ima 50 te da je zbroj svakog para 101. Na osnovi toga zaključio je da je zbroj prvih 100 prirodnih brojeva jednak 50 ⋅ 101 = 5050.
Općenito, za zbroj n uzastopnih prirodnih brojeva 1+2+3+4+5+...+n vrijedi:
Racionalni su brojevi količnici cijelih brojeva. Možemo ih zapisivati u obliku razlomaka. Dijeljenje s nulom nije izvedivo pa u nazivniku razlomka ne smije biti nula.
Količnik m:n dvaju cijelih brojeva m i n (n≠0) jest racionalan broj. Racionalan broj m:n zapisujemo u obliku razlomka m/n. Broj m je brojnik, a broj n nazivnik razlomka.
Skup racionalnih brojeva označavamo s Q.
Jednakost racionalnih brojeva:
Racionalni brojevi (razlomci) a/b i c/d jednaki su ako i samo ako je umnožak a⋅d jednak umnošku b⋅c:
Zbrajanje i oduzimanje racionalnih brojeva:
Množenje i dijeljenje racionalnih brojeva:
Postoje brojevi koji nisu racionalni, koje nije moguće predočiti kao količnik dvaju cijelih brojeva. Takvi se brojevi zovu iracionalni brojevi.Brojevi √2, √3, √5 i π primjeri su iracionalnih brojeva.
Zaokruživanje brojeva
1.Odlučujemo na kojoj ćemo poziciji zadržati posljednju znamenku.
2.Ako je znamenka koja slijedi manja od 5, posljednju znamenku ne mijenjamo.
3.Ako je znamenka koja slijedi 5 ili veća od 5, posljednju znamenku uvećavamo za 1.
Skup realnih brojeva:
Skup realnih brojeva R sastoji se od racionalnih i iracionalnih brojeva. Svaki realni broj a možemo prikazati u (konačnom ili beskonačnom) decimalnom prikazu:
a=a0.a1a2a3…
pri čemu je a0 cijeli broj, a a1, a2, a3… neke od znamenki 0,1,2,…,9.
Broj a^−1 nazivamo inverzni ili recipročni broj broju a, a≠0. Kako je a⋅1/a=1, zaključujemo da je recipročni broj jednak: a^-1=1/a
Svojstva zbrajanja i množenja realnih brojeva
Operacije zbrajanja i množenja realnih brojeva imaju sljedeća svojstva:
1.Komutativnost:
2.Asocijativnost:
3.Distributivnost(obostrana) množenja prema zbrajanju:
4.Postojanje neutralnih elemenata, 0 (nule) za zbrajanje i 1 (jedinice) za množenje:
5.Postojanje suprotnog broja i inverznog broja:
Potencije
Brojeve 10^7, 5^6, x^8 zovemo potencije. Broj 10 u prvom primjeru, 5 u drugom i x u trećem osnovice su ili baze navedenih potencija. Brojevi 7, 6 i 8 njihovi su eksponenti. Eksponentom je zapisan broj jednakih faktora u umnošku.
Potencija a^n, gdje je a neki realan broj, jest umnožak n jednakih faktora: a^n=a⋅a⋅a⋅…⋅a.
Broj a je osnovica ili baza potencije, prirodni broj n njezin je eksponent.
Uzima se da je a=a^1 te a^0=1
Primijetite da vrijedi:
Zaključujemo da vrijedi općenito:
Potencije suprotnih brojeva istim parnim eksponentom jednake su. Potencije suprotnih brojeva istim neparnim eksponentom suprotni su brojevi.
Kako množimo potencije? Koliko je primjerice 3^7⋅3^5? Prema definiciji potencije prva potencija sastoji se iz 7, a druga iz 5 jednakih faktora. Tako onda imamo 3^7⋅3^5 = (3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3)⋅(3⋅3⋅3⋅3⋅3) = 3^12
Dakle, umnožak je potencija s istom bazom 3 i s eksponentom koji je zbroj eksponenata potencija koje se množe.
Općenito vrijedi:
Za umnožak dviju potencija različitih baza i jednakih eksponenata vrijedi pravilo:
Potenciranjem potencije dobijemo novu potenciju iste baze čiji je eksponent umnožak dvaju eksponenata:
Količnik dviju potencija jednakih baza jednak je potenciji iste baze kojoj je eksponent razlika eksponenata djeljenika i djelitelja.
Količnik dviju potencija jednakih eksponenata jednak je potenciji s istim eksponentom kojoj je baza količnik baza djeljenika i djelitelja:
