Ako je površina kvadrata jednaka 225 cm^2, kolika je duljina njegove stranice?
Očito, valja potražiti pozitivan broj a za koji vrijedi a^2=225. Jednostavno je naći odgovor, a=15 cm. Rješenje: broj 15, drugi je ili kvadratni korijen broja 225. Pišemo: √225=15.
Drugi ili kvadratni korijen pozitivnog broja a je pozitivan broj √a za koji vrijedi:
Također je √0=0.
Za bilo koji realni broj a vrijedi:
Treći korijen realnog broja a je broj za koji vrijedi:
Sada pređimo na računanje s korijenima:
1.Množenje i dijeljenje drugih i trećih korijena:
2.Razlika kvadrata. Zbroj i razlika kubova:
3.Djelomično korjenovanje:
4.Racionalizacija nazivnika („uklanjanje” korijena iz nazivnika razlomka):
Iracionalne jednadžbe
Iracionalne jednadžbe su jednadžbe koje sadrže nepoznanicu x pod znakom korijena, poput jednadžbe x−1=√(x+1).
Iracionalne jednadžbe rješavamo tako da potenciranjem (kvadriranjem, kubiranjem...) uklanjamo korijen u njima. Tako ćemo kvadriranjem ove jednadžbe dobiti:
(x−1)^2=x+1
x^2−2x+1=x+1
x^2−3x=0
x(x−3)=0.
Zaključujemo da su x1=0 i x2=3 rješenja ove jednadžbe. Međutim, kada ih ubacimo natrag u početnu jednadžnu vidimo da je samo x2=3
Brojeve 10^7, 5^6, x^8 zovemo potencije. Broj 10 u prvom primjeru, 5 u drugom i x u trećem osnovice su ili baze navedenih potencija. Brojevi 7, 6 i 8 njihovi su eksponenti. Eksponentom je zapisan broj jednakih faktora u umnošku.
Potencija a^n, gdje je a neki realan broj, jest umnožak n jednakih faktora: a^n=a⋅a⋅a⋅…⋅a.
Broj a je osnovica ili baza potencije, prirodni broj n njezin je eksponent.
Uzima se da je a=a^1 te a^0=1
Primijetite da vrijedi:
Zaključujemo da vrijedi općenito:
Potencije suprotnih brojeva istim parnim eksponentom jednake su. Potencije suprotnih brojeva istim neparnim eksponentom suprotni su brojevi.
Kako množimo potencije? Koliko je primjerice 3^7⋅3^5? Prema definiciji potencije prva potencija sastoji se iz 7, a druga iz 5 jednakih faktora. Tako onda imamo 3^7⋅3^5 = (3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3)⋅(3⋅3⋅3⋅3⋅3) = 3^12
Dakle, umnožak je potencija s istom bazom 3 i s eksponentom koji je zbroj eksponenata potencija koje se množe.
Općenito vrijedi:
Za umnožak dviju potencija različitih baza i jednakih eksponenata vrijedi pravilo:
Potenciranjem potencije dobijemo novu potenciju iste baze čiji je eksponent umnožak dvaju eksponenata:
Količnik dviju potencija jednakih baza jednak je potenciji iste baze kojoj je eksponent razlika eksponenata djeljenika i djelitelja.
Količnik dviju potencija jednakih eksponenata jednak je potenciji s istim eksponentom kojoj je baza količnik baza djeljenika i djelitelja:
