Ohmski otpor

ElektriÄŤni otpor

Pri toku struje kroz metalnu Ĺľicu (vodiÄŤ) slobodni elektroni nailaze na atome koji (zbog topline) titraju oko svojih ravnoteĹľnih poloĹľaja u kristalnoj reĹˇetki materijala. MoĹľemo zamisliti da atomi tako prijeÄŤe slobodni put elektronima, Ĺˇto se oÄŤituje kao opiranje tvari protoku elektriÄŤne struje.

Ovim otporom ograniÄŤena je jakost struje, a za njegovo razumijevanje zgodna je zamisao sudara elektrona s atomima u metalu.

Elektroni sudarom gube dio energije, pa za odrĹľavanje struje (zbog otpora) treba troĹˇiti rad. Atom sudarom dobiva energiju, ÄŤime se pojaÄŤava njegovo titranje, a to znaÄŤi poveÄ‡anje temperature.

VodiÄŤ protjecan strujom se zagrijava.

Ne samo kod struje elektrona u krutini, nego i kod struje iona u vodljivoj tekuÄ‡ini javlja se otpor na ÄŤije svladavanje naboji troĹˇe rad. Otporno djelovanje javlja se ÄŤak i kod struje u vodljivom plinu.

OpÄ‡enito, naboji pri strujanju nailaze na otporna djelovanja za svladavanje kojih troĹˇe rad. Ta otporna djelovanja nazivaju se elektriÄŤni radni otpor (kraÄ‡e elektriÄŤni otpor, ili samo otpor).

Oznaka za elektriÄŤni otpor je R, a jedinica je om. Oznaka za om je Î© (grÄŤko slovo omega).

[R] = Î ©

Otpor vodiÄŤa

Otpor vodiÄŤa razmjeran je duljini vodiÄŤa l, a obrnuto razmjeran njegovom presjeku S.

Faktor razmjernosti razliÄŤit je za pojedini materijal te predstavlja svojstvo tvari koja se naziva otpornost (ili specifiÄŤni otpor) i oznaÄŤava s Ď (grÄŤko slovo ro).

Na temelju toga, otpor vodiÄŤa raÄŤuna se kao $R = Ď \frac{l}{S}$ Ova jednadĹľba pokazuje da Ä‡e npr. dvaput dulja Ĺľica (istog presjeka i materijala) imati dvaput veÄ‡i el. otpor, dok Ä‡e Ĺľica dvaput veÄ‡eg presjeka (iste duljine i materijala) imati upola manji otpor.

ElektriÄŤna vodljivost

El. vodljivost je reciproÄŤna vrijednost otpora.

Oznaka vodljivosti je G, a jedinica je simens (S) $G = \frac{1}{R} [G] = \frac{1}{Î ©} = S$ Vodljivost je kao i otpor, svojstvo fiziÄŤkog tijela. Obrnuto od otpora, koji pokazuje koliko se tijelo opire protjecanju struje, vodljivost pokazuje kolikon dobro tijelo vodi struju.

Ohmov zakon

UoÄŤeno je da jakost struje u krugu ovisi samo o naponu i otporu kruga. Pokazuje se da jakost struje I raste s naponom U, a opada s porastom otpora R. NapiĹˇe li se to u obliku jednadĹľbe, dobiva se jedan od temeljnih zakona elektrotehnike, poznat kao Ohmov zakon: $I = \frac{U}{R}$ Ohmov zakon moĹľe se opÄ‡enito iskazati ovako:

U zatvorenom strujnom krugu jakost struje I razmjerna je prikljuÄŤenom naponu U, a obrnuto razmjerna otporu kruga R.

Ohmov zakon moĹľe se napisati u tri oblika:

I = \frac{U}{R} U = I \cdot R R = \frac{U}{I}

koji se mogu izraziti na sljedeÄ‡e naÄŤine:

- izvor daje struju jakosti I koja je jednaka omjeru napona izvora U i otpora kruga R; ili
- napon U na otporniku jednak je umnoĹˇku otpora R i jakosti struje I otpornika; ili
- otpor otpornika R jednak je omjeru napona na otporniku U i jakosti struje kroz otpornik I.

Iz zadnje jednadĹľbe proizlazi i definicija jedinice elektriÄŤnog otpora, tj. 1 V kroz 1 A daje 1 Î©:

[R] = \frac{V}{A} = Î ©

Umjesto otpora u Ohmov zakon moĹľe se uvesti i njegova reciproÄŤna vrijednost tj. vodljivost G (G=1/R), pa se dobiju sljedeÄ‡i izrazi:

I = G \cdot U U = \frac{I}{G} G = \frac{I}{U}

iz ÄŤega proizlazi i definicija za jedinicu el. vodljivosti (simens), tj. 1 A kroz 1 V daje 1 S:

[G] = \frac{A}{V} = S = \frac{1}{Î ©}

Serijski spoj otpora

U krugu gdje struja teÄŤe kroz otpornike koji su spojeni u nizu, takav spoj elemenata nazivamo serijski.

Elementi su spojeni serijski ako kroz njih teÄŤe ista struja.

U krugu na slici na izvor napona U serijski su spojeni otpori R₁, R₂ i R₃.
Na njima su naponi:

U_{1} = I \cdot R_{1} U_{2} = I \cdot R_{2} U_{3} = I \cdot R_{3}

OznaÄŤimo li s R_uk ukupni otpor serijskog spoja otpora R₁, R₂ i R₃ (slika), napon izvora moĹľemo izraziti kao

U = I \cdot R_{u k}

Uvrstimo li jednadĹľbu Kirchhoffovog zakona

U = U_{1} + U_{2} + U_{3}

napone izraĹľene pomoÄ‡u struje i otpora dobivamo

I \cdot R_{u k} = I \cdot R_{1} + I \cdot R_{2} + I \cdot R_{3} = I \cdot (R_{1} + R_{2} + R_{3})

i konaÄŤno, dijeljenjem cijele jednadĹľbe s I dobiva se izraz za ukupni otpor serijskog spoja

R_{u k} = R_{1} + R_{2} + R_{3}

OpÄ‡enito, za serijski spoj n otpora ukupni otpor jednak je zbroju svih otpora spojenih u seriju.

R_{u k} = R_{1} + R_{2} + R_{3} + . . . + R_{n}

Paralelni spoj otpora

Za paralelni spoj otpora na slici vrijedi jednadĹľba Kirchhoffovog zakona za struje $I = I_{1} + I_{2} + I_{3}$ Dijeljenjem obje strane jednadĹľbe s naponom izvra dobiva se sljedeÄ‡i izraz $\frac{I}{U} = \frac{I_{1}}{U} + \frac{I_{2}}{U} + \frac{I_{3}}{U}$ Posjetimo se da je omjer struje i napona jednak reciproÄŤnoj vrijednosti otpora ili el. vodljivosti G.

Na desnoj strani jednadĹľbe su vodljivosti pojedinih paralelnih grana, dok lijeva strana (omjer struje i napona izvora) predstavlja ukupnu vodljivost kurga, Ĺˇto se moĹľe napisati kao $G_{u k} = G_{1} + G_{2} + G_{3}$

ukupna vodljivost paralelnog spoja otpora jednaka je zbroju vodljivosti paralelnih grana

OpÄ‡enito za ukupni otpor R_uk paralelnog spoja n otpora R₁, R₂ do R_n vrijedi sljedeÄ‡a jednadĹľba

\frac{1}{R_{u k}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + . . . + \frac{1}{R_{n}}

Otpor i vodljivosti opisuju isto svojstvo elemenata elektriÄŤnog kurga. Dok je analiza serijskog spoja jednostavnija pomoÄ‡u otpora, pojam vodljivosti olakĹˇava analizu i proraÄŤun paralelnog spoja.

Za neke sluÄŤajeve paralelnog spoja izvedene su gotove jednadĹľbe za izraÄŤun ukupnog otpora:

Ukupni otpor dvaju paralelno spojenih otpora R₁ i R₂ (slika) raÄŤuna se na temelju toga kao:

R_{u k} = \frac{R_{1} \cdot R_{2}}{R_{1} + R_{2}}

SloĹľeni spojevi otpora

Ma koliko sloĹľeni, spojevi otpora u el. krugovima mogu se uvijek predstaviti kombinacijom jednostavnih (serijskih i paralelnih) spojeva opisanih u predhodnim poglavljima.

VeÄ‡ smo vidjeli kako se odreÄ‘uje ukupni otpor serijskog ili paralelnog spoja otpora. Ukupni otpor predstavlja omjer ukupnog napona i ukupne struje spoja, i njime se prema van moĹľe nadomjestiti serijski ili paralelni spoj otpora.

OpÄ‡enito, bilo kako sloĹľeni spoj otpora izmeÄ‘u dviju toÄŤaka el. kruga moĹľe se nadomjestiti jednim otporom. Taj otpor, koji je jednak omjeru napona i struje izmeÄ‘u prmatranih toÄŤaka kruga, nazivamo nadomjesni (ili ekvivalentni) otpor.

Na primjeru sloĹľenog spoja otpora sa slike pokazat Ä‡emo postupak odreÄ‘ivanja nadomjesnog otpora. Na slici , otpori R₁ i R₂ spojeni su serijski, a njima paralelno spojen je otpor R₃.

Prvi korak jest odrediti otpor serijskog spoja R₁ i R₂ (oznaÄŤimo ga kao R_1-2): $R_{1 - 2} = R_{1} + R_{2}$ Spoj sa slike moĹľemo pojednostavljeno prikazati kao paralelni spoj otpora R_1-2 i otpora R₃ (slika). SljedeÄ‡i korak (i zavrĹˇni) jest odrediti otpor paralelnog spoja (oznaÄŤimo ga s R_1-2-3): $R_{1 - 2 - 3} = \frac{R_{1 - 2} \cdot R_{3}}{R_{1 - 2} + R_{3}} = R_{n a d}$ a to je i nadomjesni otpor cijelog spoja (slika)

OdreÄ‘ivanje nadomjesnog otpora svodi se na postupno pojednostavnjivanje sloĹľenog spoja, tako da se uzastopnim koracima odreÄ‘uju otpori pojedinih serijskih i paralelnih kombinacija.

PoznavajuÄ‡i napon na sloĹľenom spoju otpora, pomoÄ‡u nadomjesnog otpora moĹľemo odrediti ukupnu struju spoja. Potom je lako (pomoÄ‡u Kirchhoffovih zakona) odrediti raspodjelu struja i napona na pojedninm otporima sloĹľenog spoja.

Otpor u krugu izmjeniÄŤne struje

Struja i napon na otporu

Na otporu su napon u_t i struja i_t povezani u svakom trenutku Ohmovim zakonom preko otpora R: $u (t) = R \cdot i (t) = R \cdot I_{m} \sin (ω t) = U_{m} \sin (ω t)$ To znaÄŤi da sinusoida napona na otporu ima nule i maksimume istodobno kad i sinusoida struje, tj. izmeÄ‘u struje i napona nema faznog pomaka. KaĹľemo da su na otporu napon i struja u fazi.

Na slici su vektori i vremenski prikazi struje i napona na otporu. Omjer vrĹˇnih (i efektivnih) vrijednosti napona i struje jednak je otporu R $\frac{U_{m}}{I_{m}} = \frac{U}{I} = R$

Snaga na otporu

Snaga na nekom elementu elektriÄŤnog kruga, prisjetimo se, jednaka je umnoĹˇku napona i struje $p (t) = u (t) \cdot i (t)$ Na slici prikazane su vremenske funkcije struje, napona i trenutaÄŤne snage na otporu p_t . TrenutaÄŤna snaga, kao umnoĹľak sinusoida napona i struje, takoÄ‘er je sinusoida, ali dvostruke frekvencije.

Snaga na otporu vremenski se mijenja po sinusoidi koja je cijela pomaknuta u pozitivno podruÄŤje.

Pozitivni predznak snage znaÄŤi da otpor stalno prima energiju. Ova snaga odreÄ‘uje energiju koja se nepovratno pretvara u toplinu (elektriÄŤni rad), pa se naziva radna (djelatna) snaga (oznaka P).

Radna snaga P, tj. snaga na otporu R, jednaka je srednjoj vrijednosti trenutaÄŤne snage $P_{t}$ .

Srednja vrijednost snage (snaga na otporu) je sredina izmeÄ‘u najmanje (0) i najveÄ‡e snage

(U_{m} I_{m})

P = \frac{U_{m} \cdot I_{m}}{2} = \frac{U_{m}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{I_{m}}{\sqrt{2}} = U \cdot I = \frac{U^{2}}{R} = I^{2} \cdot R